Alexander Melnikov absolvierte sein Studium am Moskauer Konservatorium bei Lev Naumov. Zu seinen musikalisch prägendsten Erlebnissen zählen die Begegnungen mit Svjatoslav Richter, der ihn regelmäßig zu seinen Festivals in Russland und Frankreich einlud. Er ist Preisträger bedeutender Wettbewerbe wie dem Internationalen Robert-Schumann-Wettbewerb (1989) und dem Concours Musical Reine Elisabeth in Brüssel (1991).
Seine musikalischen und programmatischen Entscheidungen sind oft ungewöhnlich. Sehr früh begann Alexander Melnikov sich mit der historischen Aufführungspraxis auseinanderzusetzen. Wesentliche Impulse erhielt er von Andreas Staier sowie von Alexei Lubimov, mit dem er in zahlreichen Projekten zusammengearbeitet hat. Regelmäßig steht er mit namhaften Ensembles für Alte Musik wie dem Freiburger Barockorchester, dem Barockorchester B’Rock, der Akademie für Alte Musik Berlin oder dem Utopia Orchestra auf der Bühne.
Unter den Orchestern, bei denen Alexander Melnikov als Solist gastierte, finden sich das Royal Concertgebouw Orchestra in Amsterdam, das Gewandhausorchester Leipzig, das Philadelphia Orchestra, das Atlanta Symphony Orchestra, das Melbourne Symphony Orchestra, das Sydney Symphony Orchestra, das London Philharmonic Orchestra, das Mahler Chamber Orchestra, das NDR Elbphilharmonie Orchester, das hr-Sinfonieorchester sowie die Münchner Philharmoniker, das Rotterdam Philharmonic Orchestra und das BBC Philharmonic. Er arbeitete mit Dirigenten wie Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Anja Bihlmaier, Charles Dutoit, Nicholas Collon, Osmo Vänskä, Paavo Järvi, Thomas Dausgaard, Maxim Emelyanychev und Vladimir Jurowski zusammen.
Mit Andreas Staier erarbeitete er ein reines Schubert-Programm zu vier Händen, das sie gemeinsam aufgenommen haben und regelmäßig im Konzert spielen. Eine intensive Kammermusikpflege mit dem Cellisten Jean-Guihen Queyras gehört für Alexander Melnikov zu den unverzichtbaren Bestandteilen seiner Arbeit.
Überaus wichtig sind ihm auch Kammermusikkonzerte mit seiner langjährigen festen Duopartnerin Isabelle Faust. Ihre gemeinsame Gesamteinspielung sämtlicher Beethoven-Violinsonaten bei harmonia mundi, die u. a. mit einem Gramophone Award ausgezeichnet sowie für einen Grammy nominiert worden ist, ist zu einer Referenzaufnahme geworden. 2015 erschien ihre Einspielung der Brahms-Sonaten für Violine und Klavier, 2018 und 2021 Aufnahmen mit Sonaten für Klavier und Violine von Mozart.
Die von ihm ebenfalls bei harmonia mundi veröffentlichten Präludien und Fugen op. 87 von Schostakowitsch wurden vom BBC Music Magazine als eine der 50 wichtigsten Aufnahmen aller Zeiten genannt. Zusammen mit Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras, Pablo Heras-Casado und dem Freiburger Barockorchester nahm Alexander Melnikov eine Schumann-Trilogie mit den Konzerten und Klaviertrios (erschienen 2015 und 2016) sowie Beethovens Tripelkonzert (2021) auf. Zudem spielte er die gesamten Klaviersonaten von Prokofiev ein und veröffentlichte 2023 sein Album "Fantasie – Seven Composers, Seven Keyboards", in dem er, wie auch in seinem Programm "Many Pianos" die Stücke auf den Instrumenten der jeweiligen Zeit spielt und damit an sein Album von 2018 anknüpft. Neben diesem Soloalbum wurde 2023 eine Einspielung von Schumanns Klavierquartett und -quintett veröffentlicht, auf der Alexander Melnikov gemeinsam mit Isabelle Faust, Anne Katharina Schreiber, Antoine Tamestit und Jean-Guihen Queyras zu hören ist. Im September 2026 erschien eine Aufnahme von Emilie Mayers Klavierkonzert mit der Akademie für Alte Musik Berlin.
In der Saison 2026/27 wird Alexander Melnikov mit namhaften Orchestern wie dem Royal Concertgebouw Orchestra, dem Rotterdam Philharmonic Orchestra, den Münchner Philharmonikern, dem WDR Sinfonieorchester Köln, dem Warsaw Philharmonic und der Dresdner Philharmonie zusammenarbeiten, unter der Leitung von Maxim Emelyanychev, Duncan Ward, Pablo Heras-Casado, Marie Jacquot, Aurel Dawidiuk, Delyana Lazarova sowie selbst vom Klavier aus leitend.
Die kammermusikalische Arbeit setzt Alexander Melnikov in unterschiedlichsten Besetzungen mit Partner wie Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras und Julia Lezhneva fort. Mit Letzterer hat er bei harmonia mundi die Aufnahme "Visiting Rachmaninov" (2025) veröffentlicht, bei der erstmals Lieder von Rachmaninow auf dessen eigenem Flügel in seiner Villa Senar eingespielt wurden.
Konzerte in der Wigmore Hall, im Barbican Centre, im Concertgebouw Amsterdam, im Muziekgebouw Amsterdam, im Konzerthaus Wien und in der Philharmonie Luxemburg runden Alexander Melnikovs aktuelle Saison ab, zudem steht eine Asientour mit dem Utopia Orchestra und Teodor Currentzis sowie eine Australientour mit dem Australian Chamber Orchestra an.