Seine erste musikalische Ausbildung erhielt Hartmut Müller zunächst auf der Trompete als Schüler seines Vaters. Später wechselte er zur Tuba und studierte dann in Wuppertal und Aachen, wo er auch sein Konzertexamen als Schüler von Walter Hilgers absolvierte. Schon während des Studiums arbeitete er in vielen deutschen Sinfonie- und Opernorchestern der Spitzenklasse. Anschließend gehörte er zunächst dem RSO Saarbrücken an, bevor er 1988 ein Festengagement beim Sinfonieorchester Wuppertal annahm, dessen Solo-Tubist er ist.
Neben der Orchesterarbeit entdeckte er sehr bald die solistischen und kammermusikalischen Möglichkeiten der Tuba. Als Solist sowie als Gründungsmitglied des Melton Tuba Quartetts machte er sich sehr schnell einen Namen über die Grenzen Deutschlands hinaus. So führten ihn seine Konzerte u. a. in die USA, nach Japan, Italien, Frankreich, Spanien und Portugal.